Ande hay patrón no manda marinero

Visualicen ustedes un mapa del mundo. Éste nos puede servir:

Puede parecerles evidente que ese mapa es una plasmación en dos dimensiones de la superficie de la Tierra: ya saben, una esfera sin lo de dentro. Bueno, la superficie de la esfera también lo es en dos dimensiones, sólo que para verla tal y cómo es, necesitamos una tercera. El caso es que tenemos claro que lo que pasa es que los límites de la izquierda hay que “pegarlos” con los de la derecha y los de arriba con los de abajo, aunque para convertirlo en esfera hay que “deshacer” el estiramiento que hemos necesitado para poner el mapa en el plano. Sin embargo, supongan que el que ve el mapa no sabe que la Tierra es esférica. Podría reconstruir el mapa juntando lo de arriba con lo de abajo, y luego doblando el cilindro resultante, hasta pegar sus extremos. Ya ven, nuestro mundo sería una rosquilla, o como dicen los cursis, un toro. También la superficie de ese toro tendría dos dimensiones.

Para no liarnos, llamaremos a esas superficies “variedades bidimensionales”. No tienen por qué ser planas, como ven. Para llamarlas así, nos basta con saber que necesitamos dos coordenadas para situar un punto sobre la variedad. En una variedad bidimensional, todos los puntos vecinos a un punto cualquiera se pueden reflejar en un mapa bidimensional. Una variedad así tiene dos dimensiones, y esto es importante, aunque pueda requerir, como ya he dicho, para “verlo” como es, tres dimensiones, como en el caso de la superficie de la esfera o de la superficie de un toro.

Una variedad bidimensional puede ser finita o infinita. Y puede tener frontera o no. Es importante tener claro que no es lo mismo. Un plano que se extiende hacia el infinito no tiene frontera. Sin embargo, la superficie de una esfera es finita, ya que si viajamos por ella, terminamos en el mismo punto del que partimos, pero no tiene frontera, ya que nunca llegamos a un límite de la propia superficie. Para saber si una variedad es finita, basta con preguntarnos si podemos hacer un mapa o mapas en el que se representen todos sus puntos. Si la respuesta es afirmativa, como en el caso de nuestro mapa, la variedad es finita. Hay, por otra parte, infinitas variedades bidimensionales que podrían resultar de nuestros mapas; basta ir pegando toros y haciendo dónuts con dos, con tres, con cuatro, … agujeros.

Si un tipo curioso le pregunta al estudioso de los mapas si puede, basándose exclusivamente en ellos, decirnos la forma de la variedad, podríamos encontrarnos con el problema de que existen infinitas variedades que podrían resultar de ese mapa o mapas. Sin embargo, el pobre estudioso del mapa tiene un esperanza. Resulta que sólo la superficie de la esfera, como variedad bidimensional finita, tiene la divertida virtud de que si usted sale de un punto con un cordel y viaja y viaja, y llega al mismo punto, haga el viaje que haga, puede sujetar los dos extremos del cordel y recogerlo y recogerlo totalmente. Si hace usted lo mismo en el mundo-rosquilla y el viaje que usted ha hecho es éste

…, ya puede tirar lo que quiera, que no recogerá el cordel. Así que, puede examinar y examinar los mapas hasta comprobar si se puede o no recoger el cordel. Si se puede, está de suerte: el mapa representa la superficie de una esfera.

Ahora damos un salto y nos vamos a las variedades tridimensionales. Necesitamos para colocar un punto en ellas tres coordenadas. Un mapa (o un conjunto de mapas) de una variedad así, también sería tridimensional, claro (por ejemplo un cubo). Imaginen que nos dan unos cuantos cubos que, aun solapándose (como ocurre a menudo con los mapas bidimensionales, en los que nos aparece Albacete en el 43A y en el 24B, una vez arriba y otra a la derecha), representan esa variedad tridimensional de forma completa. Si es así, ya sabemos que es finita, claro (no hacen falta infinitos mapas para representarla). Ahora bien, aun siendo finita, puede no tener bordes o fronteras.

Hay una cosa curiosa, fíjense en esta representación de la superficie esférica de la Tierra.

Como ven se trata de dos mapas con forma de disco. Se trata de una superficie finita y con frontera. La frontera es la circunferencia de cada uno. Ahora peguen los puntos de esas fronteras, es decir, las dos circunferencias y estiren y estiren tirando del centro de cada disco. Las dos unidas se convierten en una esfera bidimensional sin frontera (no se preocupe si se pasa estirando y le sale algo parecido a un plátano, porque topológicamente también es una esfera bidimensional, ya que cumple los requisitos que vimos). Las fronteras han desaparecido porque el viajero que parte de un punto de un disco y llega a la frontera, lo que hace es entrar en el otro disco, y así sucesivamente.

¡Hagamos lo mismo con dos esferas! Imaginen dos esferas que sean mapas de una parte de una variedad tridimensional (como es evidente ya no sólo consideramos la superficie de la esfera, sino también su interior). Ese mapa también tiene, como tenía el disco, una frontera. Por ejemplo, soy un topo viajero y parto desde el centro de la Tierra; un día llego a su superficie, pero ya no puedo ir más allá. La superficie, en este caso es la frontera. Bien, ya termino: ahora cojan dos esferas tridimensionales y unan cada punto de su límite, de su frontera, con un punto de la superficie de la otra esfera. Estamos haciendo lo mismo que hicimos con los discos. Nuestro topo llega a lo que antes era una frontera y se encuentra con que puede horadar por la otra esfera, llegar al centro y seguir y seguir, hasta llegar a lo que era la superficie y pasar de nuevo a la primera esfera. El resultado de esa suma es una esfera tridimensional, una variedad tridimensional finita y sin fronteras.

Hay infinitas variedades tridimensionales finitas y sin fronteras. En todas ellas se da la circunstancia de que usted regresará al punto de partida si tira por la calle de “enmedio” durante el tiempo suficiente. Nos dicen que el universo puede ser así: usted coge su nave espacial, se pira de la Tierra a toda leche y no cambia el rumbo. Unos eones después llega otra vez a casa. Acojona porque no hay manera de visualizarlo: nosotros para ver la superficie de una esfera bidimensional, necesitamos una tercera dimensión. Fíjese en la bola del mundo que le regaló a su hijo. La putada es que no podemos salirnos fuera de la esfera tridimensional: nos falta una dimensión.

Ahora, imagine que nuestro estudioso tiene una colección de mapas tridimensionales que contienen todos los puntos de una variedad tridimensional. Alguien le pregunta, ¿qué forma tiene esa variedad? El estudioso le dice: “que tu amigo coja la nave espacial con el cordel y tire todo recto: cuando vuelva que sujete ambos extremos e intente enrollarlos. Si lo consigue es que es una esfera tridimensional”.

Hasta hace poco no sabíamos si la prueba era válida. Un tal Perelman ha demostrado que sí.

 

35 comentarios en “Ande hay patrón no manda marinero

  1. Donde dice plasmación en dos dimensiones de la superficie de la Tierra [que también tiene ¡dos! dimensiones, se lo aclaran aquí, por ejemplo] quiere decir proyección plana de la superficie de la Tierra.

  2. Una duda que me corroe. Cuando habla de esa propiedad de la esfera se refiere, en realidad, a cualquier figura topológicamente equivalente con un esfera, ¿verdad? Creo que el contexto de la discusión es topológico. Lo cual es muy interesante porque admitiendo que las operaciones isométricas dejan invariante el problema (como creo que es el caso) podemos deducir que el auto de marras está sentado sobre la base del ubi maior, minor cessat. Pero si no habría que concluir que pacta sunt servanda o, quizá, memo iudex in questa causa.

  3. ¡Anda, que no complican la cosa los abogados! Y se esconden tras el latín. Menos mal que los que estamos en edad senatorial lo dimos en el bachillerato franquista.

    Donde hay una autoridad mayor, la secundaria queda anulada., o sea que «Donde hay patrón, no manda marinero»

  4. [3] Le iba a acusar de tiquismiquis por los anteriores comentarios, pero éste, éste, éste sí requiere aclaración. Naturalmente, el contexto es topológico, de ahí la referencia a la banana. En consecuencia tiene usted razón.

  5. Hay un problema con lo de las variadeades tridimensionales: resultan en objetos cuatridimensionales. Si nuestro amigo viaja eones de años y hace la prueba del lacito [suponiendo que regrese] y la pasa… la conclusión es que el universo sería una esfera bola (topológicamente hablando) cuatridimensional.

    De hecho la complicación de la conjetura de Poincaré si mal no recuerdo se relaciona con la dimensión cuatro. No sé por qué extraña razón la cuarta dimensión es jodida. Las demostraciones para casos más generales de dimensión cinco, seis … n, por inducción, creo recordar que eran más fáciles. En el caso de la conjetura y en otros. Pero la dimensión cuatro, jode un rato.

  6. Oído esta mañana en el Telerriario Oficial:

    “España construirá un satélite de comunicaciones seguras que supondrá la creación de 1000 puestos de trabajo…”

  7. [8]

    In mathematics, the Poincaré conjecture (French, pronounced: [pwɛ̃kaʁe][1] pwan-ka-REY) is a theorem about the characterization of the three-dimensional sphere among three-dimensional manifolds that states:

    Every simply connected, closed 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere.

    Ya sabe, la wiki.

    De todas formas, en el libro del que he sacado mis reflexiones personales también refiere el problema a la triesfera.

  8. De la wiki también

    «A sphere (from Greek σφαῖρα—sphaira, “globe, ball”) is a perfectly round geometrical object in three-dimensional space,»

    Pos bien, a three-sphere is a perfectly round geometrical object in a four-dimensional space. Digo yo. Es más.

    It consists of the set of points equidistant from a fixed central point in 4-dimensional Euclidean space.

  9. Un añadido más para aclarar, si el tío ese viaja con rumbo fijo eones de años y regresa [que esta por ver que regrese] ya sabríamos que estaríamos en un universo de dimensión cuatro.

    La conjetura El teorema lo único que provee es un test para saber si el universo sería topológicamente equivalente a una esfera (una triesfera, una 3-esfera) o no.

  10. Lo había olvidado. Bola. El nombre matemático preciso e inambiguo de la cosa y que rara vez se usa es bola (lugar geométrico de los puntos cuya distancia a uno punto dado es menor o igual que un número dado).

    Una bola de dimensión cuatro cuya superficie tridimensional sería una tri-esfera.

  11. [8] Qtyop: “(…)si mal no recuerdo se relaciona con la dimensión cuatro. No sé por qué extraña razón la cuarta dimensión es jodida.”

    Jódase, You Robot:

    Por ahí dicen esto:
    “curiosamente el caso tridimensional ha sido el que más a (sic) costado a los matemáticos. Parecería que un numero mayor de dimensiones haría el problema más complejo, pero no es así.”

  12. [22]

    Maldito hijodeputa, jódase usted que no ha entendido nada.

    El caso tridimensional que refiere usted de donde por ahí dicen es el caso de una superficie tridimensional (una tri-esfera, o un tri-toro, cariñosamente llamado tri-rosquilla por los tri-cursis) que vive en un espacio de dimensión cuatro, ¡cuatro!.

  13. Q, podría abusar de tu santa paciencia…¿Tiene algo que ver la banana topológica de Tse con los plátanos godelianos de Mer?

  14. “Canibalismo galáctico

    Un equipo de astrónomos ha detectado señales que indican que las ‘galaxias enanas’ están siendo devoradas por las galaxias espirales más grandes.”

    Pero, ¡¡hay que hacer algo!! ¿Y si en esas galaxias enanas había planetas habitados, vida inteligente? O, lo que es aún más trágico, gatitos, toros, ballenas, gorilas,… ¡Todos esos seres extinguiéndose como lágrimas en la lluvia, ay, virgen de las Angustias, qué desazón!

  15. Es que naide va a comentar la transversalidad de estos últimos treinta años (por lo menos), simbolizada en Méndez Cándido pidiendo una gran putada de huelga general calzando una cazadora general de Polo Ralph Lauren.

  16. Conjetura de Schwartz-Shermolinskii-Kaliniskaia: si Y es un año par no múltiplo de cuatro entonces al menos una selección española pierde un partido de cuartos de final de un campeonato del mundo.

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