Reparto proporcional

En esta entrada voy a retomar el cuñadil y actual tema electoral y voy a explicar los distintos métodos todos de reparto electoral. Sin embargo, no lo voy a hacer pensando en la atribución de escaños a candidaturas en un sistema de listas cerradas. Lo voy a hacer pensando en la atribución de escaños a una circunscripción en función de su población. Es un problema similar pero con una importante diferencia.

La discusión de los métodos de reparto la voy a hacer en relación con dos sistemas legales reales: el estadounidense y el español. Ambos abordan el problema de forma similar pero con un sutil diferencia. La Constitución americana trata el tema en la Sección 2.3 y viene a señalar que el número de representantes de cada Estado (que no es necesariamente una circunscripción) será proporcional a la población (originalmente la población se refería a las personas libres, excluía a los indios y un esclavo era sólo tres quintos de persona) y que todo Estado tendrá al menos un representante. Además la Constitución manda realizar un censo decenalmente, que sirve para realizar el reparto.

La Constitución española es igual pero diferente. En su artículo 68.2 se dice que la circunscripción provincia, que Ceuta y Melilla estarán representadas por un diputado y que la ley distribuirá el número de diputados atribuyendo un mínimo inicial a cada circunscripción y distribuyendo los demás en proporción a la población.

La diferencia principal entre una elección en la que se asignan escaños a partidos y el reparto de escaños de una diputación entre circunscripciones es que en este último caso hay que garantizar al menos un escaño a cada circunscripción, mientras que en el primero, obviamente, no. Y esa atribución mínima se trata de forma diferente en ambas constituciones. En la americana parece incrustando en la forma de repartir los escaños mientras que en la española se describen dos procesos diferentes.

Como decía al principio esta entrada trata de describir los principales métodos de reparto proporcional y para una posterior, un análisis más pormenorizado de la LOREG. Matemáticamente me pongo a ello.

1. El método de Vinton, Hamilton, Hare o de los restos mayores

Es, probablemente, el método de reparto que se le ocurriría a un bachiller, a un cuñado, a un tuno o a alguien que hiciera la cuenta de la vieja. Es decir es el primer método que se le ocurre a uno. Y, también, es una estafa intelectual.

El método consiste en obtener una cuota que es el resultado de dividir la población del país entre los escaños. Pongamos que hablamos de cuarenta millones y de 350 escaños, lo que da un número de 114285 habitantes por escaño. Se cogen las poblaciones de cada circunscripción y se dividen por la cuota. Pongamos que tenemos una circunscripción de un millón de habitantes y obtendremos un número tal que 8,75. A la circunscripción se le asignan ocho escaños (la parte entera) y al resto todo igual.

Cuando sumamos todos los escaños asignados observaremos que nos hemos quedado cortos. Hay un déficit por asignar. Esos escaños se asignan a las circunscripciones con restos (fracciones decimales) mayores.

Intuitivo cómo es, resulta en una estafa porque la fracción decimal obtenida no guarda proporcionalidad con la población original. Efectivamente la fracción decimal sólo puede variar entre 0 y 1 sea cual sea la población de la circunscripción. Esto ocasiona una vasta literatura de paradojas electorales con nombre submarino americano.

2. El método de Jefferson o de d’Hondt

En América es el método de Jeffeson aquí, el de d’Hondt. Al parecer Jefferson no estuvo contento con la forma en la que se repartieron los escaños de las primeras Cortes americanas e ideó un método alternativo que, casualmente, favorecía a su estado natal. Un siglo después y un continente más lejos, d’Hondt ideó su celebérrimo algoritmo que tan feliz he hecho a su familia.

El método comparte una secuencia de operaciones idéntica al de resto de métodos que voy a describir por lo que entenderlo, y explicarlo, es importante para la discusión posterior.

Es un método iterativo que primero ordenaría las circunscripciones de mayor a menor según su población. Asignaría el primer escaño a la circunscripción más poblada. El segundo escaño se lo asignaría a la circunscripción más poblada salvo que la primera circunscripción doble en población a la segunda.

La idea es que si ocurriera esto la circunscripción más poblada de podría dividir en dos subcircunscripciones iguales y aún así cada una de ellas estaría más poblada que el resto.

El tercer escaño se atribuye de forma diferente según se ha atribuido el segundo. Si la atribución va por (1,1) el tercer escaño se atribuye a la tercera circunscripción más poblada, salvo que la circunscripción más poblada le doble en población. Si la atribución va por (2,0) el tercer escaño se atribuye a la segunda circunscripción más poblada, salvo que la circunscripción más poblada la triplique en población.

Exactamente se coge la secuencia de divisores más simple posible: 1, 2, 3,… y se divide la población por esos divisores. Los resultados más altos reciben los escaños.

Si hablamos de circunscripciones el método d’Hondt no garantiza per se que todas tenga un escaño pero podemos forzar esto de dos formas. La primera sería la española, asignando un escaño ad hoc a cada circunscripción con independencia de su población y repartiendo el resto de escaños por el método d’Hondt.

La otra forma es a la americana. Formalmente basta con incluir el cero entre los divisores. Al hacerlo la primera división es siempre infinito, con independencia de la población de la circunscripción y se asignarán escaños uno a uno a todas las circunscripciones. Y después el método sigue igual. A esta forma de proceder se le llama también método de Adams.

Como ven la secuencia de divisores se diferencia exactamente en una unidad, y la razón entre dos divisores consecutivos es

\frac{n}{n+1}
3. El método de Webster, Sainte-Laguë; números impares; o media aritmética

Todo lo que viene a continuación son pequeñas variantes que se han ideado para pasar a la posteridad. La mecánica es similar el método d’Hondt, lo que cambian son los divisores.

Si en el método d’Hondt fijamos la atención en un número y en su sucesor n, n+1 ya que sólo podemos asignar n escaños o n+1 escaños, el método de Webster fija su atención en la media aritmética de los número naturales consecutivos. Si empezamos en el cero los divisores serían 0.5, 1.5, 2.5\dots y si dividimos por el inicial se obtienen los número impares 1, 3, 5, 7\dots

Con el ejemplo vemos que la diferencia entre dos divisores consecutivos no es demasiado importante. En la primera sucesión se diferencian en uno y en la segunda se diferencian en dos. Sin embargo la razón entre dos divisores consecutivos es siempre

\frac{2n+1}{2n+3}

Hay dos diferencias importantes con el método anterior. La primera es que para reparto de escaños entre circunscripción sólo se puede añadir el cero con un calzador ya que el cero no es un número impar.

La segunda es que tiende a perjudicar a las circunscripciones grandes. Basta con ver el primer paso: la provincia más poblada sólo obtiene su segundo escaño si triplica en población a la segunda provincia más poblada.

4. El método de Dean o de la media armónica

Si antes hemos utilizado la media aritmética de n,n+1 el método de Dean usa la media armónica de dos números consecutivos. La media armónica de dos números es el doble del recíproco de la suma de los recíprocos. Es decir H=2/(1/x + 1/y).

Si los dos números son consecutivos la media armónica es 2x(x+1)/(2x+1) y la sucesión que se obtiene es: 4/3, 12/5, 24/7, 40/9\dots que se puede escribir como 1, 9/5, 18/7, 30/9, 45/13\dots y en notación decimal es: 1, 1.8, 2.57, 3.333, 4.09\dots

Como ven la diferencia entre dos divisores consecutivos no es constante y el cociente entre ambos es

\frac{n(2n+3)}{(2n+1)(n+1)}

Saben el problema de las dos personas esas de las que una se come un pollo y el otro no se come ninguno. La media aritmética dice que se han comido medio pollo. La media armónica dice que no se han comido ninguno. Es decir, el cero es un elemento natural de la serie y el método puede usarse de un golpe para asignar escaños a circunscripciones con la garantía de que cada una obtendrá, al menos, un escaño.

Si lo comparamos con el método d’Hondt los divisores son ahora más pequeños y el sesgo se produce hacia las poblaciones más pobladas. Descontando una posible atribución inicial, la primera circunscripción un segundo escaño si tiene más de 9/5 (y no 10/5) veces la población de la segunda circunscripción.

5. El método de Huntington, de Hill o de Huntington-Hill

Este método es el que se usa en las Cámara de Representantes americana desde 1940 y fue implementado por un matemático americano Huntington que estudió el tema y que llegó a la sorprendente conclusión de que lo bueno no eran números consecutivos, ni la media arimética de números consecutivos, ni siquiera la media armónica de números consecutivos… no, lo que debería usarse es la… media geométrica de números consecutivos.

La media geométrica de dos números es la raíz cuadrada del producto de los números. Así que en el ejemplo del pollo, la media geométrica sigue siendo cero. Y, por tanto, también podemos asegurarnos de que todas las circunscripciones tendrán al menos un escaño.

Junto con la arimétrica y la armónica la media geométrica conforman lo que se conoce como medias pitagóricas, que se conocen desde tiempos de Pitágoras.

Para números consecutivos la media geométrica es \sqrt{n(n+1)} y eso es 0, \sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{12}, \sqrt{20}, \sqrt{30}\dots o, si lo prefieren la raíz cuadrada de 0, 1, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{10}, \sqrt{15}\dots que en notación decimal se convierte en 0, 1, 1.73, 2.44, 3.16, 3.87\dots

La razón entre dos divisores consecutivos es siempre

\sqrt{\frac{n}{n+2}}

De nuevo es un método sesgado hacia las circunscripciones más pobladas. A la primera circunscripción le basta ahora un 73% más de población (y no un 100% más) para obtener el segundo escaño en liza.

Lógica

El método de Vinton, Hare o Hamilton se usó en el reparto de escaños en Estados Unidos. Descubrieron que daba más paradojas y quebraderos de cabeza que otra cosa y lo desecharon.

El método Adams o Jefferson también se usó o, al menos se intentó usar, para el reparto de escaños americano.

El método de Webster o Sainte-Laguë se ha usado en diversas ocasiones en el reparto de escaños americano y en la asignación de escaños a candidaturas en diversos países de europa.

No he encontrado casi nada sobre el método de Dean.

El método de Huntington-Hill es el que se usa en el legislativo americano desde 1940. Responde al intento de equilibrar el poder de los estados dentro de la cámara. El «poder» se representa numéricamente por el cociente entre la población del estado y el número de escaños. Mayor cociente implica menor poder o influencia.

Hay tres razones que originan que este cociente sea variable. Una es consustancial al problema: las poblaciones de los estados varían independientemente unas de otras y los escaños sólo pueden ser números naturales consecutivos.

Otras dos son de índole práctica y pueden ajustarse. La primera es el tamaño de la cámara, que siempre es finito. El tamaño de la cámara (que puede ajustarse) y la población del país (que es dada) determina el promedio de influencia. En Estados Unidos con 320 millones de habitantes y una cámara de 435 escaños tocan a unos 700000 hombres libres por escaño.

El segundo parámetro distorsionador es la atribución mínima de un escaño a cada estado, independientemente de la población, que es cualquier cosa menos proporcional; y tanto menos cuanto más diferente sea la población de los estados. En Estados Unidos va desde los 40 millones de California al medio millón de Wyoming (un factor ochenta).

El tamaño de la cámara está también relacionado con esto. Una propuesta sería hacer la cámara tan grande como para que la razón entre la población total de Estados Unidos y los escaños de la cámara sea el medio millón por escaño. De esta forma la atribución de un escaño a Wyoming, que tiene una poblacíon de medio millón de habitantes, sería «natural». Esto haría que la Cámara pasase de 435 escaños a 547 escaños. Descontando los cincuenta iniciales habría 497 escaños repartidos proporcionalmente lo que amortigua la influencia de los escaños asignados por mínimo. Sorprendentemente la propuesta de aumentar la cámara proviene de Wyoming.

El método de Huntington no es una solución real a un problema sino, más bien, otra forma de estabilizar el sistema. La idea es que dado que los estados con población más pequeña están «favorecidos» por la atribución mínima de escaños usar un método sesgado hacia los estados más poblados para que el resultado global sea más «justo». Es decir usa secuencia de divisores como 1, 1.73 (más fácil para la circunscripción más poblada que el 1,2 del método d’Hondt) para contrarrestar el divisor inicial que asigna el escaño mínimo.

Es una cuestión interesante analizar la bondad del argumento porque, en cierta forma, equivale discriminar a los estados pequeños por el simple hecho de tener una representación mínima… que está garantizada constitucionalmente. En España sería dudosamente legal porque aquí, a diferencia de allí, la Constitución diferencia más nítidamente lo que es la asignación inicial de lo que es el reparto de los sobrantes. Y este reparto de sobrantes ha de hacerse necesariamente por un criterio proporcional sin que, aparentemente, quepa «castigar» a las circunscripciones más pequeñas porque ya tuvieron su mínimo.

No obstante analizaré el caso español en una próxima entrada.

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Un comentario en “Reparto proporcional

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