Reparto proporcional (y II)

Como prometí en mi entrada anterior voy a analizar la elección al Congreso de los Diputados, es decir el artículo 68 de la Constitución y su desarrollo en los artículos 161 y 162 de la Ley Orgánica del Régimen Electoral General del año 1985.

Para ello inicialmente voy a comparar el reparto electoral del Congreso de los Diputados con el reparto electoral de la Cámara de Representantes (el Congreso) de Estados Unidos. Hay semejanzas entre ambos procesos. Por ejemplo se trata exactamente del mismo número de entidad administrativas: 50 provincias (Ceuta y Melilla tiene un tratamiento diferente y no se considera aquí) y 50 estados.

La estructura poblacional de las entidades son muy parecidas si ordenamos las entidades de mayor a menor en base a su población. Entre la más (California y Madrid) y menos poblada (Wyoming y Soria) hay un factor 40 de diferencia. La mayor representa algo más del 10% de la población en los dos casos. El número de entidades que sobrepasan el 5% de la población es similar. La diferencia más significativa es que en España hay dos grandes entidades de tamaño parecido (Madrid y Barcelona) mientras que en Estados Unidos la segunda entidad (Texas) es apreciablemente más pequeña que la primera.

La cámara americana tiene 435 escaños, la española 348. El tamaño es parecido pero en relación al número de habitantes es apreciablemente diferente. Estados Unidos cuenta con 1.41 congresistas por millón de habitantes. España con 7.52 diputados por millón de habitantes. Hay un factor 5 de diferencia. Si lo prefieren, el Congreso de los Diputados debería tener 65 escaños, o la Cámara de Representantes 2175 escaños para que fueran comparables en relación tamaño a población.

En la primera figura que les he preparado se compara la influencia relativa de cada entidad (provincia y estado) en función del ránking de población. El color de cada dato nos indica el número de escaños de la provincia o estado. A la izquierda están los datos de España, a la derecha los datos de Estados Unidos. En el eje Y se mide la influencia relativa: se toma como unidad de influencia la ratio de cada país.

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La diferencia entre el reparto español y el americano es evidente. En el caso español la influencia aumenta monótonamente conforme disminuye la población (mejor dicho el ránking) en Estados Unidos permanece más o menos independiente del ránking. Por favor, no concluyan de la figura que el sistema americano es «mejor» o «más justo». O que el sistema español «no es democrático». Son conclusiones gruesas.

En España la mayor diferencia de influencia se da entre la provincia más poblada (Madrid) y la segunda menos poblada (Teruel) y representa un factor 4. Teruel es más influeyente que Soria porque alcanza a tener 3 diputados aún cuando la diferencia de población no es muy grande.

En Estados Unidos la diferencia mayor ocurre entre estados consecutivos en ránking de población: Rhode Island y Montana. Y la razón es que Rhode Island alcaza a tener dos representantes (el segundo representante de Rhode Island es el 419º representante de la cámara) mientras que Montana no llega a alcanzarlo: sería el 440º representante pero sólo hay disponibles 435. El factor de diferencia es 2, que es simplemente la diferencia entre tener uno o dos representantes.

La cuestión es ¿por qué el reparto español está tan sesgado hacia las provincias menos probladas?

Hay doble razón. La primera diferencia es que en España se asignan como mínimo 2 escaños a cada provincia. Este mínimo asignado representa el 28% de los diputados. En Estados Unidos el mínimo es un escaño por estado y totaliza el 12% de los representantes. Un detalle: 11% es la población de la entidad más poblada tanto en Estados Unidos como en España. Un 28% es mucho más que esa cantidad.

La segunda razón es el método de reparto de los escaños sobrantes. En Estados Unidos se usa el método de Huntington (lo tratamos en la entrada anterior) que está sesgado hacia las entidades más grandes. Recuerden que después de asignar el primer escaño a todos las entidades el método divide por 1, 1.73\dots en vez de 1,2\dots. En poco se nota la diferencia. Los estados más poblados son California (37.3M), Texas (25.2M) y Nueva York (19.4M). California consigue su segundo escaño (51º del orden) por ser el más poblado. El siguiente escaño (52º) es para Texas por ser el segundo estado más poblado. Y el escaño 53º vuelve a ser de California: su poblacion es 1.92 veces la de Nueva York, no la duplica pero sí sobrepasa las 1.73 veces (\sqrt{3}) del método de Huntington. En conjunto el método de Huntington «rectifica» el efecto del mínimo asignado penalizando a los menos poblados y primando a los más poblados. Satisface el requerimiento constitucional de asignación proporcional con un mínimo asignado.

En España los escaños sobrantes (248) se distribuyen por el método de los restos mayores que es todo lo contrario del método de Huntington ya que está claramente sesgado hacia entidades menos pobladas. Es decir, ahonda aún más la desproporción que implica el mínimo asignado; el cuál a su vez ya está generosamente ampliado a dos escaños.

De forma efectiva al usar el método de los restos mayores es casi como si se asignaran tres diputados a todas las circunscripciones: sólo Soria no alcanza el tercer diputado y sí lo alcanzaría si se usara el censo en vez de la población como criterio de reparto (hay pocos niños en Soria).

Les he preparado la siguiente simulación en la que se varían el mínimo y el método de reparto. A la izquierda el mínimo es dos escaños; a la derecha el mínimo es un escaño. La figura sólo muestra datos de España pero les aseguro que los datos de Estados Unidos serían indistinguibles de los españoles en esa gráfica.

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Todas las simulaciones mejoran la influencia de las provincias más pobladas a costa de las menos pobladas. Y causa más efecto reducir el mínimo que variar el método de reparto.

Fíjense en el factor que relaciona a la provincia más influyente con la menos influyente, es un factor más importante en mi opinión que si la influencia es cercana o lejana a la unidad (es decir a la ratio del país). A la izquierda la diferencia entre la provincia más influyente y la menos pasa de 3.6 a 3.3, frente al 3.9 del método vigente; un cambio modesto. A la derecha, la diferencia se reduce casi a la mitad: de 3.9 a 1.8 y es muy próximo al valor que se observa en Estados Unidos (1.9). Este valor está relacionado con la naturaleza discreta del problema.

También es muy significativo que a la izquierda la provincia menos influyente sea siempre la más poblada y la más influyente la menos poblada. Indica que el sesgo que introduce el mínimo de dos escaños es difícil de contrarrestar por un método de reparto.

A la derecha la población menos influyente: en la primera simlación sigue siendo Madrid pero ya hay menos distancias con las poblaciones más pobladas que consiguen un determinado número de escaños. Es decir, la línea discontinua horizontal casi llega a tocar a los puntos de 1 escaños, 3 escaños, 4, 5, 7 y 8 escaños. Esto indica que la asignación mínima (un escaño) y el método de reparto (d’Hondt) producen un resultado proporcional donde la dispersión de los datos proviene esencialmente de la naturaleza discreta de la asignación. Es, en mi opinión, el escenario ideal.

Las otras dos simulaciones de la derecha producen resultados más independientes del ránking porque sesgan la atribución hacia las provincias más pobladas. La provincias más y menos influyentes pertenecen al segmento de las menos pobladas.

La última figura muestra el baile de escaños y es suficientemente descriptiva

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Déjenme que concluya con tres reflexiones. Es difícil saber a posteriori por qué la LOREG atribuye los escaños de esa forma en la que todas las decisiones que se pueden tomar favorecen a las provincias menos pobladas. Se suele decir que fue una forma de apuntalar el bipartidismo. No es más que una falacia post hoc ergo propter hoc. De hecho la LOREG implica que en todas las circunscripciones salvo en Soria, Ceuta y Melilla pueden elegirse representantes de al menos tres partidos diferentes. Es decir, se podría argumentar justamente todo lo contrario: fue para atemperar un posible bipartidismo. También sería un brindis al sol.

Por otra parte conocemos las aversiones de muchos españoles por los sistemas mayoritarios, sobre todo en la izquierda: al aumentar los mínimos asignados se evitaban elecciones uninominales. ¿Pudo ser que a algunos les nublara la alergia al sistema mayoritario? ¿Que prefirieran asegurar el segundo o tercer escaño de Teruel en vez de luchar por el 40º de Madrid?

La segunda reflexión tiene que ver con las entidades. En Estados Unidos los estados son bastante iguales en derechos/obligaciones y sus ciudadanos celosos de esa igualdad. El método de Huntington, que es de 1940 tras inumerables discusiones sobre la representatividad de los estados, puede entenderse como una manifestación extrema de esa igualdad. En España las provincias son entidades administrativas más que otra cosa, con la excepción quizá de las provincias vasco-navarras. No ha habido un celo especial en atender este problema o no ha pasado el tiempo necesario para que se generen estas discusiones. Por otra parte creo que la solución americana de estricta proporcionalidad sería inconstitucional en España porque aquí, a diferencia de alli, por una parte está el mínimo asignado y por otra el reparto de los sobrantes. Sólo el último ha de ser proporcional sin que quepa, aparentemente, sesgar el método de reparto a uno u otro lado.

Mi última reflexión es sobre otra diferencia entre Estados Unidos y España; quizá la más notable. En Estados Unidos el estado no tiene porqué ser la circunscripción. El reparto determina los representante del estado pero luego las elecciones suelen ser uninominales (casi siempre) y lo que se discute es el tamaño y forma de la circunscripción. Cada diez año cambia el censo, puede cambiar el número de representantes de un estado y obliga a redefinir distritos electorales, y aparece el gerrymanderimso. Si hablamos de tamaños actualmente la circunscripción más grande es Montana (1M de habitantes); las más pequeñas son las dos de Rhode Island, que tienen aproximadamente la mitad de tamaño. La diferencia se debe, únicamente, a la naturaleza discreta del problema y es irresoluble.

En España cuando hablamos de este reparto estamos fijando las circunscripciones, que han de ser provinciales por mandato constitucional. Entonces aquí conviven una elección de 2 diputados en Soria con una de 36 en Madrid. Si usáramos primer modelo de la derecha (mínimo un escaño, reparto por d’Hondt) conviviría una elección de un diputado con elecciones 45 diputados. El diferencia, enorme, no está en la naturaleza del problema sino en la restricción constitucional.

Ojalá circunscripciones subprovinciales y su gerrymanderismo.

Reparto proporcional

En esta entrada voy a retomar el cuñadil y actual tema electoral y voy a explicar los distintos métodos todos de reparto electoral. Sin embargo, no lo voy a hacer pensando en la atribución de escaños a candidaturas en un sistema de listas cerradas. Lo voy a hacer pensando en la atribución de escaños a una circunscripción en función de su población. Es un problema similar pero con una importante diferencia.

La discusión de los métodos de reparto la voy a hacer en relación con dos sistemas legales reales: el estadounidense y el español. Ambos abordan el problema de forma similar pero con un sutil diferencia. La Constitución americana trata el tema en la Sección 2.3 y viene a señalar que el número de representantes de cada Estado (que no es necesariamente una circunscripción) será proporcional a la población (originalmente la población se refería a las personas libres, excluía a los indios y un esclavo era sólo tres quintos de persona) y que todo Estado tendrá al menos un representante. Además la Constitución manda realizar un censo decenalmente, que sirve para realizar el reparto.

La Constitución española es igual pero diferente. En su artículo 68.2 se dice que la circunscripción provincia, que Ceuta y Melilla estarán representadas por un diputado y que la ley distribuirá el número de diputados atribuyendo un mínimo inicial a cada circunscripción y distribuyendo los demás en proporción a la población.

La diferencia principal entre una elección en la que se asignan escaños a partidos y el reparto de escaños de una diputación entre circunscripciones es que en este último caso hay que garantizar al menos un escaño a cada circunscripción, mientras que en el primero, obviamente, no. Y esa atribución mínima se trata de forma diferente en ambas constituciones. En la americana parece incrustando en la forma de repartir los escaños mientras que en la española se describen dos procesos diferentes.

Como decía al principio esta entrada trata de describir los principales métodos de reparto proporcional y para una posterior, un análisis más pormenorizado de la LOREG. Matemáticamente me pongo a ello.

1. El método de Vinton, Hamilton, Hare o de los restos mayores

Es, probablemente, el método de reparto que se le ocurriría a un bachiller, a un cuñado, a un tuno o a alguien que hiciera la cuenta de la vieja. Es decir es el primer método que se le ocurre a uno. Y, también, es una estafa intelectual.

El método consiste en obtener una cuota que es el resultado de dividir la población del país entre los escaños. Pongamos que hablamos de cuarenta millones y de 350 escaños, lo que da un número de 114285 habitantes por escaño. Se cogen las poblaciones de cada circunscripción y se dividen por la cuota. Pongamos que tenemos una circunscripción de un millón de habitantes y obtendremos un número tal que 8,75. A la circunscripción se le asignan ocho escaños (la parte entera) y al resto todo igual.

Cuando sumamos todos los escaños asignados observaremos que nos hemos quedado cortos. Hay un déficit por asignar. Esos escaños se asignan a las circunscripciones con restos (fracciones decimales) mayores.

Intuitivo cómo es, resulta en una estafa porque la fracción decimal obtenida no guarda proporcionalidad con la población original. Efectivamente la fracción decimal sólo puede variar entre 0 y 1 sea cual sea la población de la circunscripción. Esto ocasiona una vasta literatura de paradojas electorales con nombre submarino americano.

2. El método de Jefferson o de d’Hondt

En América es el método de Jeffeson aquí, el de d’Hondt. Al parecer Jefferson no estuvo contento con la forma en la que se repartieron los escaños de las primeras Cortes americanas e ideó un método alternativo que, casualmente, favorecía a su estado natal. Un siglo después y un continente más lejos, d’Hondt ideó su celebérrimo algoritmo que tan feliz he hecho a su familia.

El método comparte una secuencia de operaciones idéntica al de resto de métodos que voy a describir por lo que entenderlo, y explicarlo, es importante para la discusión posterior.

Es un método iterativo que primero ordenaría las circunscripciones de mayor a menor según su población. Asignaría el primer escaño a la circunscripción más poblada. El segundo escaño se lo asignaría a la circunscripción más poblada salvo que la primera circunscripción doble en población a la segunda.

La idea es que si ocurriera esto la circunscripción más poblada de podría dividir en dos subcircunscripciones iguales y aún así cada una de ellas estaría más poblada que el resto.

El tercer escaño se atribuye de forma diferente según se ha atribuido el segundo. Si la atribución va por (1,1) el tercer escaño se atribuye a la tercera circunscripción más poblada, salvo que la circunscripción más poblada le doble en población. Si la atribución va por (2,0) el tercer escaño se atribuye a la segunda circunscripción más poblada, salvo que la circunscripción más poblada la triplique en población.

Exactamente se coge la secuencia de divisores más simple posible: 1, 2, 3,… y se divide la población por esos divisores. Los resultados más altos reciben los escaños.

Si hablamos de circunscripciones el método d’Hondt no garantiza per se que todas tenga un escaño pero podemos forzar esto de dos formas. La primera sería la española, asignando un escaño ad hoc a cada circunscripción con independencia de su población y repartiendo el resto de escaños por el método d’Hondt.

La otra forma es a la americana. Formalmente basta con incluir el cero entre los divisores. Al hacerlo la primera división es siempre infinito, con independencia de la población de la circunscripción y se asignarán escaños uno a uno a todas las circunscripciones. Y después el método sigue igual. A esta forma de proceder se le llama también método de Adams.

Como ven la secuencia de divisores se diferencia exactamente en una unidad, y la razón entre dos divisores consecutivos es

\frac{n}{n+1}
3. El método de Webster, Sainte-Laguë; números impares; o media aritmética

Todo lo que viene a continuación son pequeñas variantes que se han ideado para pasar a la posteridad. La mecánica es similar el método d’Hondt, lo que cambian son los divisores.

Si en el método d’Hondt fijamos la atención en un número y en su sucesor n, n+1 ya que sólo podemos asignar n escaños o n+1 escaños, el método de Webster fija su atención en la media aritmética de los número naturales consecutivos. Si empezamos en el cero los divisores serían 0.5, 1.5, 2.5\dots y si dividimos por el inicial se obtienen los número impares 1, 3, 5, 7\dots

Con el ejemplo vemos que la diferencia entre dos divisores consecutivos no es demasiado importante. En la primera sucesión se diferencian en uno y en la segunda se diferencian en dos. Sin embargo la razón entre dos divisores consecutivos es siempre

\frac{2n+1}{2n+3}

Hay dos diferencias importantes con el método anterior. La primera es que para reparto de escaños entre circunscripción sólo se puede añadir el cero con un calzador ya que el cero no es un número impar.

La segunda es que tiende a perjudicar a las circunscripciones grandes. Basta con ver el primer paso: la provincia más poblada sólo obtiene su segundo escaño si triplica en población a la segunda provincia más poblada.

4. El método de Dean o de la media armónica

Si antes hemos utilizado la media aritmética de n,n+1 el método de Dean usa la media armónica de dos números consecutivos. La media armónica de dos números es el doble del recíproco de la suma de los recíprocos. Es decir H=2/(1/x + 1/y).

Si los dos números son consecutivos la media armónica es 2x(x+1)/(2x+1) y la sucesión que se obtiene es: 4/3, 12/5, 24/7, 40/9\dots que se puede escribir como 1, 9/5, 18/7, 30/9, 45/13\dots y en notación decimal es: 1, 1.8, 2.57, 3.333, 4.09\dots

Como ven la diferencia entre dos divisores consecutivos no es constante y el cociente entre ambos es

\frac{n(2n+3)}{(2n+1)(n+1)}

Saben el problema de las dos personas esas de las que una se come un pollo y el otro no se come ninguno. La media aritmética dice que se han comido medio pollo. La media armónica dice que no se han comido ninguno. Es decir, el cero es un elemento natural de la serie y el método puede usarse de un golpe para asignar escaños a circunscripciones con la garantía de que cada una obtendrá, al menos, un escaño.

Si lo comparamos con el método d’Hondt los divisores son ahora más pequeños y el sesgo se produce hacia las poblaciones más pobladas. Descontando una posible atribución inicial, la primera circunscripción un segundo escaño si tiene más de 9/5 (y no 10/5) veces la población de la segunda circunscripción.

5. El método de Huntington, de Hill o de Huntington-Hill

Este método es el que se usa en las Cámara de Representantes americana desde 1940 y fue implementado por un matemático americano Huntington que estudió el tema y que llegó a la sorprendente conclusión de que lo bueno no eran números consecutivos, ni la media arimética de números consecutivos, ni siquiera la media armónica de números consecutivos… no, lo que debería usarse es la… media geométrica de números consecutivos.

La media geométrica de dos números es la raíz cuadrada del producto de los números. Así que en el ejemplo del pollo, la media geométrica sigue siendo cero. Y, por tanto, también podemos asegurarnos de que todas las circunscripciones tendrán al menos un escaño.

Junto con la arimétrica y la armónica la media geométrica conforman lo que se conoce como medias pitagóricas, que se conocen desde tiempos de Pitágoras.

Para números consecutivos la media geométrica es \sqrt{n(n+1)} y eso es 0, \sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{12}, \sqrt{20}, \sqrt{30}\dots o, si lo prefieren la raíz cuadrada de 0, 1, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{10}, \sqrt{15}\dots que en notación decimal se convierte en 0, 1, 1.73, 2.44, 3.16, 3.87\dots

La razón entre dos divisores consecutivos es siempre

\sqrt{\frac{n}{n+2}}

De nuevo es un método sesgado hacia las circunscripciones más pobladas. A la primera circunscripción le basta ahora un 73% más de población (y no un 100% más) para obtener el segundo escaño en liza.

Lógica

El método de Vinton, Hare o Hamilton se usó en el reparto de escaños en Estados Unidos. Descubrieron que daba más paradojas y quebraderos de cabeza que otra cosa y lo desecharon.

El método Adams o Jefferson también se usó o, al menos se intentó usar, para el reparto de escaños americano.

El método de Webster o Sainte-Laguë se ha usado en diversas ocasiones en el reparto de escaños americano y en la asignación de escaños a candidaturas en diversos países de europa.

No he encontrado casi nada sobre el método de Dean.

El método de Huntington-Hill es el que se usa en el legislativo americano desde 1940. Responde al intento de equilibrar el poder de los estados dentro de la cámara. El «poder» se representa numéricamente por el cociente entre la población del estado y el número de escaños. Mayor cociente implica menor poder o influencia.

Hay tres razones que originan que este cociente sea variable. Una es consustancial al problema: las poblaciones de los estados varían independientemente unas de otras y los escaños sólo pueden ser números naturales consecutivos.

Otras dos son de índole práctica y pueden ajustarse. La primera es el tamaño de la cámara, que siempre es finito. El tamaño de la cámara (que puede ajustarse) y la población del país (que es dada) determina el promedio de influencia. En Estados Unidos con 320 millones de habitantes y una cámara de 435 escaños tocan a unos 700000 hombres libres por escaño.

El segundo parámetro distorsionador es la atribución mínima de un escaño a cada estado, independientemente de la población, que es cualquier cosa menos proporcional; y tanto menos cuanto más diferente sea la población de los estados. En Estados Unidos va desde los 40 millones de California al medio millón de Wyoming (un factor ochenta).

El tamaño de la cámara está también relacionado con esto. Una propuesta sería hacer la cámara tan grande como para que la razón entre la población total de Estados Unidos y los escaños de la cámara sea el medio millón por escaño. De esta forma la atribución de un escaño a Wyoming, que tiene una poblacíon de medio millón de habitantes, sería «natural». Esto haría que la Cámara pasase de 435 escaños a 547 escaños. Descontando los cincuenta iniciales habría 497 escaños repartidos proporcionalmente lo que amortigua la influencia de los escaños asignados por mínimo. Sorprendentemente la propuesta de aumentar la cámara proviene de Wyoming.

El método de Huntington no es una solución real a un problema sino, más bien, otra forma de estabilizar el sistema. La idea es que dado que los estados con población más pequeña están «favorecidos» por la atribución mínima de escaños usar un método sesgado hacia los estados más poblados para que el resultado global sea más «justo». Es decir usa secuencia de divisores como 1, 1.73 (más fácil para la circunscripción más poblada que el 1,2 del método d’Hondt) para contrarrestar el divisor inicial que asigna el escaño mínimo.

Es una cuestión interesante analizar la bondad del argumento porque, en cierta forma, equivale discriminar a los estados pequeños por el simple hecho de tener una representación mínima… que está garantizada constitucionalmente. En España sería dudosamente legal porque aquí, a diferencia de allí, la Constitución diferencia más nítidamente lo que es la asignación inicial de lo que es el reparto de los sobrantes. Y este reparto de sobrantes ha de hacerse necesariamente por un criterio proporcional sin que, aparentemente, quepa «castigar» a las circunscripciones más pequeñas porque ya tuvieron su mínimo.

No obstante analizaré el caso español en una próxima entrada.

Un voto particular sobre los umbrales de representación

Ayer inicié en tuiter una conversación con una tal mandarina sobre los umbrales que fija la ley para acceder al reparto de escaños.

Indagué un poco y me encontré con una sentencia del TC al respecto. Es esta. Se refiere a una elección por la circunscripción de Barcelona al parlamento de Ponilandia. Voy a argumentar unas discrepancias.

Antes que nada debo decir que estaría más cómodo si el recurso se refiriera a una elección al Congreso. El motivo es que la Constitución Española trata de forma diferente las elecciones al Congreso y las elecciones a parlamentos autonómicos. Probablemente porque uno estaba formado y lo otro, no.

Respecto del Congreso la CE fija todos sus parámetros. El constituyente se constituyó en la práctica en legislador electoral: fija la circunscripción, los escaños mínimo y máximo que hay en el Congreso, los escaños mínimos que debe tener una circunscripción y que, y esto es lo importante, dentro de una circunscripción la elección se verificará atendiendo a criterios de representación proporcional (artículo 68). Por contra el artículo 152 dice que los Estatutos de Autonomía fijarán en todo caso una Asamblea Legislativa que será elegida por sufragio universal con arreglo a un sistema de representación proporcional (artículo 152). La diferencia de matiz entre criterio (artículo 68) y sistema (artículo 152) es creo clara. La primera es precisa y restrictiva; la segunda es laxa e imprecisa.

Hecha esta salvedad voy a entender que el artículo 68 es aplicable al caso que entendió el TC y, alternativamente, pueden imaginarse que se planteara para una elección al Congreso.

Lo que me llama la atención de la sentencia son los fundamentos jurídicos 4 y 5. En ellos el Tribunal muestra una falta de pericia matemática a la hora de argumentar.

En el caso se resuelve el recurso de un partido que no obtuvo representación parlamentaria por no haber superado el umbral del 3% fijado para la ocasión. Es decir, la estricta aplicación del método d’Hondt le habría asignado al menos un escaño. No se le asigna porque no supera el umbral legal. En la elección del pasado domingo 24 de mayo del 2015 este caso se ha planteado en Navarra (donde Ciudadanos no alcanzó el 3%) y en Madrid (donde hasta cuatro partidos que no alcanzaron el límite del 5% habrían obtenido un escaño según el método d’Hondt).

El problema constitucional se refiere a la igualdad, el acceso a cargos públicos y, directamente, al artículo 68 por cuanto un umbral legal no es un criterio proporcional.

En su fundamento jurídico 4 el Tribunal dice:

No es aceptable, por último, el argumento de que la discriminación se produce por referencia a las personas que integran las distintas candidaturas, esto es, si se tiene en cuenta que el número de votos que corresponden a candidatos incluidos en listas que no han rebasado el límite del 3 por 100, y, por tanto, no llegan a ser proclamados electos, puede ser, no obstante, superior, como sucede en los casos que nos ocupan, al número de votos correspondientes a candidatos que obtienen esa proclamación al figurar en las listas que sí han superado dicho límite. La comparación es inviable, pues nos encontramos ante magnitudes cualitativamente diversas: En un caso el total de los votos conseguidos por unas ciertas candidaturas (las excluidas del reparto de escaños), en el otro caso, uno o varios cocientes, que no son, y aquí está la diferencia esencial, votos efectivamente obtenidos, sino más bien resultados convencionales deducidos, a efectos del reparto, del número total de votos de cada candidatura. Y es que, en un sistema de listas como el vigente en nuestro ordenamiento electoral, no cabe hablar de votos recibidos por candidatos singularmente considerados, sino, en relación a éstos, de cocientes, que son resultados de la operación prevista para determinar, entre las listas que han superado el límite legal, los escaños que corresponden a cada una de ellas.

Aquí el tribunal se demuestra hipnotizado por los cálculos del método d’Hondt (prolijamente descritos en la Ley Orgánica del Régimen Electoral General) y desconoce palmariamente su signficado.

La lógica matemática del método es la siguiente: el partido A obtiene n escaños antes que el partido B obtenga m escaños si y sólo si V(A)/n > V(B)/m donde V son los votos de cada partido. La desigualdad se puede escribir alternativamente como V(A)/V(B) > n/m; lo que evidencia su carácter estrictamente proporcional. El método implica que el partido más votado obtiene el primer escaño (caso n=1;m=1) y que un partido obtiene un segundo escaño antes que otro el primero si recibe más del doble de votos (caso n=2; m=1).

En contra de lo que dice el TC estos números no son resultados convencionales sino que tienen una explicación y un significado electoral preciso. Una vez expliqué que significa esto. Repito: el partido A obtiene n escaños antes que el partido B obtenga m escaños si n paquetes de votos del partido A son más que m paquetes de votos del partido B.

En el sistema electoral de listas cerradas el resultado del método d’Hondt es exactamente el mismo que si un grupo de votantes del partido A hubiera votado al partido por su estricta simpatía con el primer candidato de la lista. Otro grupo de igual número de electores por estricta simpatía con el segundo candidato… y así sucesivamente hasta completar los escaños que el método asigne al partido. En esto se cisca gloriosamente el TC.

El desconocimiento de esta interpretación no plantea ningún problema práctico salvo que aparezcan umbrales que privilegian unos votantes respecto de otros.

Por ejemplo en Madrid IUCM-LV obtuvo 130890 votos, sin escaños, por no rebasar el 5% de los votos, y C’s 383874, con 17 escaños. Esos 17 escaños significa que 17 grupos de 22580 votantes cada uno mostró su preferencia por cada uno de los 17 primeros candidatos de C’s. Y, evidentemente, esos mismos 22580 votantes de IUCM-LV no fueron tratados de la misma forma.

La segunda cita de la sentencia se refiere al fundamento jurídico 5 y dice así:

El límite del 3 por 100 que señala el art. 20.4 b) del Real Decreto-ley 20/1977 respeta, en sustancia, el criterio de la proporcionalidad, ya que la restricción no impide que el reparto de escaños se realice conforme a ese criterio respecto a la inmensa mayoría de los votos emitidos en la circunscripción, y eso que, en el presente caso, al tratarse de unas elecciones y de una circunscripción en las que estaba en juego un elevado número de escaños (85), aumentaba considerablemente la posibilidad de que listas que no hubiesen alcanzado ese límite, de no existir éste, hubiesen tenido acceso al reparto, y la existencia de la barrera legal aparece, por otra parte, plenamente justificada, según todo lo anteriormente expuesto, al haber actuado el legislador con fines cuya licitud, desde la perspectiva constitucional, no es discutible, por lo que no puede, por todo ello, apreciarse que los preceptos de la Constitución y del Estatuto Catalán de Autonomía que determinan la existencia de un sistema de representación proporcional hayan sido vulnerados por la norma legal que impone esa barrera, y esta inexistencia de infracción constitucional o estatutaria nos conduce a la conclusión de que dicha norma tampoco contradice el contenido del derecho del art. 23.2 de la Constitución, en cuanto al carácter de los requisitos que para el ejercicio de tal derecho se señalan.

Aquí la falta de rigor del tribunal es mucho más evidente. Primero cuando dice que se dice «respeta, en sustancia» saltan todas las alarmas. O se respeta o no se respeta. Pero es sobre todo en el resaltado en negrita donde aparece problema. Es la indefinición que implica el sintagma «inmensa mayoría» ¿Cómo de inmensa ha de ser la inmensa mayoría para el TC? ¿Quiere decir que el 3% sí, el 5% tal vez pero el 10%, no? Todo buen científico sabe que esos animalitos hay que relacionarlos con el problema en cuestión. En este caso con el tamaño de la circunscripción. El TC resuelve el asunto ignorando que en una circunscripción de 85 diputados un diputado representa sólo el 1.1% de la diputación. Es imposible desde cualquier punto de vista que eliminar un partido que tenga el 2.9% de los votos sea razonable y proporcional en esta circunstancia.

Pero a más a más, y como segundo argumento, el tribunal ignora matemáticamente que es posible una elección con 20 candidaturas que obtuvieran el 2.9% de votos y 10 candidaturas que obtuvieran el 3.5%. En ese supuesto el límite legal del 3% haría repartir los escaños sólo entre 10 candidaturas despreciando casi el sesenta por ciento de los votos. Y que el resultado de una elección sea ese depende exclusivamente de la libérrima voluntad del soberano máximo: el pueblo.

Entiendo que el poder constituido trate de poner reparos a la «fragmentación» del arco parlamentario. Porque eso favorece los intereses de los partidos mayoritarios que conforman ese arco parlamentario. Pero el constituyente trazó unas líneas rojas muy definidas y es sorprendente que el Tribunal Constitucional no las respete y no limite el ansia legislativa del poder constituido.

Yo también soy poco amigo de la fragmentación del arco parlamentario. Pero hay que reconocer que ya se aplican métodos que no la promocionan. Por ejemplo no elegimos 3000 diputados. O, por ejemplo, usamos el método d’Hondt. Es falso que este método favorezca a los partidos grandes; es, simplemente, que favorece que las personas se agrupen antes de las elecciones en intereses sustanciados en candidaturas. O, alternativamente, que los partidos no se disgreguen.

Pero si uno organiza una mega elección con 129 diputados a elegir (caso de Madrid, donde un diputado es el 0.77% del parlamento y de la circunscripción), no deberías poder impedir que un partido con un 1% de los votos obtenga un escaño. O mejor dicho, la forma constitucional y elegante que tiene el legislador de impedir eso es reduciendo el número de escaños; no seleccionando umbrales arbitrarios.

Igualmente si, como en el caso de Navarra, la elección se verifica sobre 50 diputados (un diputado es el 2% del parlamento) y el pueblo soberanamente decide fragmentar su voto con hasta 8 partidos con más del 2% de los votos, ¿cómo se justifica el trato desigual dado a uno y a otros partidos?

No es sólo una discusión técnica. Tanto en Madrid como en Navarra estos umbrales van a condicionar qué tipo de mayorías pueden formarse en el parlamento. En Madrid el resultado estricto de la ley d’Hondt habría sido 45-34-25-16-5-2-1-1, con IUCM-LV obteniendo cinco escaños, UPyD 2, y VOX y PACMA un escaño cada uno. Pierden escaños PP (-3), PSOE (-3), Podemos (-2) y C’s (-1). En Navarra, Geroa Bai habría cedido un diputado a C’s.

La magnitud del problema se pone también en evidencia si se calcula el número de escaños necesarios para que ni C’s en Navarra ni IUCM-LV en Madrid hubieran obtenido escaño.

En el caso navarro deberían haberse elegido 28 diputados (la mitad de lo que se eligió y con una mayoría absoluta en 15) que se habría distribuido de la siguiente forma: UPN (9), Geroa Bai (5), EHBildu (4), Podemos (4), PSOE (4), PP (1), I-E (1). En el caso de Madrid, deberían haberse elegido ¡19 diputados! (casi la sexta parte de lo que se eligió, y con mayoría absoluta en 10) que se habrían repartido de la siguiente forma PP (7), PSOE (6), Podemos (4), C’s (2).

La ley d’Hondt, el bipartidismo y el caso de Navarra

En las pasadas elecciones la circunscripción de Navarra nos trajo los siguientes datos:

PP-UPN 38.18%, 2 escaños
PSOE 22.00%, 1 escaño
Amaiur 14.86%, 1 escaño
GBai 12.84%, 1 escaño
IU 5.51%, 0 escaños
UPyD 2.06%, 0 escaños

Y traigo tres reflexiones. La primera está motivada por una afirmación de ayer de doña Rosa Díez que agradeció el voto de muchos ciudadanos que votaban al partido aunque “resultaba prácticamente imposible que su voto se transformara en diputado”. Se trata de una adversativa bastante injusta. En Navarra por ejemplo doce candidaturas y solo había 5 escaños en juego. Es manifiestamente imposible que todos los votantes transformaran su “voto” en “diputado”. Y, evidentemente también, ningún votante de UPyD tenía menos probabilidades de transformar su “voto” en “diputado” que un votante de, digamos, PP-UPN. Simplemente es que hay hubo casi más de veinte votantes de un partido por cada votante del otro. Y no es plan de asignar escaños por código de colores; que ya sabemos que el magenta es muy chulo.

La segunda es una consideranción. En el sistema d’Hondt, sin cuota prefijada, hay que luchar para ganarse un escaño. Se dice que favorece al partido mayoritario. Sí, pero no si no llega. En el caso de Navarra verán como PP-UPN obtuvo bastante más del doble de votos que obtuvieron GBai y Amaiur y sin embargo solo obtuvo el doble de escaños que esos partidos. No llegó a obtener un escaño más por la misma razón por la que UPyD (o IU) no llegó a obtener un escaño más: no les votaron lo suficiente. Este es un efecto típico de pequeñas circunscripciones.

La tercera reflexión es una simulación. Habrán oído hablar de que el sistema favorece al bipartidismo. Lo que más favorece al bipartidismo es cómo votan los españoles que votan, ay, bipartidistamente. La simulación es la que sigue: imaginemos que en todas las provincias españolas se hubiera votado a unos partidos ficticios A, B, C, D, E y F con el mismo perfil que se ha hecho en Navarra. Cuál habría sido el resultado. Este:

Partido A, 38.18% 167 escaños
Partido B, 22.00% 82 escaños
Partido C, 14.86% 54 escaños
Partido D, 12.84% 42 escaños
Partido E, 5.51% 5 escaños
Partido F, 2.06% 0 escaños

No es una ley rígida (depende de muchos factores) pero si UPyD (o IU) obtuvieran el 15% de votos en todas las circusncripciones obtendrían, probable y aproximadamente, 50 escaños. El 15% de la cámara.

Cuando dicen más proporcional solo quieren decir, como mucho, más plural

Sigo sin ser un experto en ciencia política y tenía en mente presentarles algunas simulaciones electorales. Pero un animalito cruzó mi mente. Ayer por dos veces leí que el método Hare es “más proporcional” que el método d’Hondt. Y aunque no soy experto en ciencia política, me da la impresión que es la típica frase adanista (ayer se cruzó esta palabra por aquí y por eso la uso) que solo quiere decir estoyArrimandoElAscuaAMiSardinaSinQueTeDesCuenta.

Voy a ser breve. Un método que usa diferencias (incrementos) para asignar escaños no puede ser muy muy proporcional que se diga. Y traigo un ejemplo.

En la elección de noviembre, en Sevilla, el PSOE y UPyD obtuvieron los siguientes votos:

PSOE 441657 votos, 41.71%
UPyD 58415 votos, 5.51%

Imaginemos que la circunscripción eligiera 10 escaños (en realidad elige 12 escaños, pero con 10 escaños se ve mejor el asunto). El método Hare asigna 4 escaños al PSOE y 1 a UPyD. El método d’Hondt 5 escaños y 0 escaños.

Los números del método d’Hondt son sencillos: los votos del PSOE divididos en cinco paquetes son 88311 votos, que son bastantes más (un 50% más) que los 58415 votos de UPyD. O dicho de otra forma UPyD solo podría obtener un escaños después de que el PSOE haya obtenido 7, ya que 441657 dividido por 7 sigue siendo mayor que 58415 pero 441657 entre 8, no.

Los números del método Hare son así: la quota Hare es 103550 votos, el PSOE obtiene 4.26502 quotas y UPyD 0.56411 quotas. Así el PSOE se queda a 76110 votos del quinto escaño y UPyD a 45138 votos.

El animalito sale ahora. Como el método Hare es ineficaz a la hora de establecer la quota (usa una quota preestablecida) la asiganción inicial de escaños no es completa. Ahora queda un escaño por asignar y la pregunta es ¿al PSOE o a UPyD? Y el método responde: a UPyD que está más cerca.

Cuando hace eso el método asigna 45138 nuevos votantes a UPyD y prefiere eso a asignar 76110 nuevos votantes al PSOE.

Y usted dirán. Bien ¿y qué? Es lógico, ¿no?

El problema es que ese incremento es cualquier cosa menos proporcional ya que usa una operación (la adición) incompatible con la idea de mantener proporciones.

Por decirlo simplemente: cuando asigna 45138 votantes nuevos a UPyD el voto de UPyD se ha incrementado en un 77%. La distancia que media entre 58415 votos y 103553 votos.

Si asignara 76110 votos al PSOE, los votos de este partido solo aumentarían en un 17%.

Esa distorsión provoca proporciones y comparaciones con resultados un tanto idiotas. Por ejemplo que el PSOE solo obtiene cuatro veces más escaños que UPyD, cuando tiene 7.5 veces más votos.

O que teniendo en cuenta que un escaño es el 10% de la diputación, UPyD conseguría el 10% de los escaños con el 5.5% de los votos. El doble de representación. ¡No está mal!

Analógicamente, para el PSOE 4 escaños hacen el 40% de la diputación (obtiene el 41% de los votos), mientras que 5 escaños serían el 50%. Que sería 1.22 veces el porcentaje de votos: bastante menos que el doble de representación.

Este tipo de discrepancias es consustancial a la idea de convertir números grandes en números pequeños: es imposible mantener porcentajes porque los escaños están cuantizados y solo puedes tener el 10% de escaños o el 20% de escaños, mientras que se puede pasar del 20% al 20.01% de los votos.

Cuando se dice que Hare es “más proporcional” se está haciendo hincapié, probablemente, en las diferencias entre porcentajes de escaños y porcentaje de votos pueden ser menores. Sin embargo sospecho la ratio votos/escaños o porcentaje de escaños/porcentaje de votos está más distorisionada en el método Hare que el método d’Hondt que, por otra parte, es bastante neutro en su algoritmo ya que asigna escaños de una vez.

Cabría decir quizá que el método Hare es “más plural”. Aunque sospecho que es una frase buenista y centrista. Disfrazandome del huno de la casa diría que el método Hare es una bazofia.

Disclaimer: El uso de las siglas PSOE y UPyD y del caso específico de la votación en la circunscripción de Sevilla en el año 2011 es puramente utilitarsita. La siglas sirven como meras etiquetas.

No soy experto en ciencia política.

  1. No soy experto en ciencia política. No se llame a engaño. Esto es una puta lista gomitada al vuelo. No es un sesudo análisis de los que abundan en internete.
  2. Los sistemas electorales se hacen buenos por electores y elegidos. Elegidos con su responsabilidad en el ejercicio del cargo. Electores haciendo pagar la irresponsabilidad de los elegidos cuatro años después.
  3. Electoralmente España es un país plural con circunscripciones muy diferentes en tamaño y con circunscripciones muy diferentes en el sentido del voto.
  4. En España hay, salvo error u omisión:
    • 20 circunscripciones que eligen entre 1 y 4 diputados. Suman 64 diputados.
    • 25 circunscripciones que eligen entre 5 y 9 diputados. Suman 159 diputados.
    • 5 circunscripciones que eligen entre 10 y 19 diputados. Suman 60 diputados.
    • 2 circunscripciones que eligen más de 20 diputados. Suman 67 diputados.
  5. La ley d’Hondt dice que el porcentaje mínimo de votos para garantizarse un escaño depende del número de diputados N a elegir y es 100/(N+1).
  6. Típicamente entre en una circunscripción de entre 1-4 diputados se necesita un 20%-30%-50% de votos para obtener escaño.
  7. Entre 5 y 9 escaños se necesita 20%-10%.
  8. Entre 10 y 20 escaños se necesitan entre un 10% y un 5%.
  9. Para más de 20 escaños se necesita el 3%, que por otra parte es el umbral legal para entrar en el reparto de escaños.
  10. Si se eligen 350 diputados un diputado representa el 0.2857% de la diputación.
  11. Ergo, en un sistema proporcional puro un partido con el 0.2857% de los votos debería tener un diputado.
  12. Típicamente esto son 70k votos.
  13. Con un sistema Hare y una circunscripción única habría 19 formaciones políticas en el Congreso.
  14. El PRC habría obtenido un escaño con apenas el 0.2% de los votos: 41k.
  15. Para evitar esto se ponen umbrales de representación: porcentaje mínimo de votos para entrar en el reparto.
  16. Cuando se defiende la proporcionalidad y, a la vez, los umbrales de representación me entra mucha risa. Mucha.
  17. ¿Cuál es el umbral de representación deseable? Aquel que te garantiza sobrepasarlo.
  18. El 5% es un umbral típico pero típicamente un partido como UPyD (con el 4.6% de votos) lo consideraría típicamente injusto.
  19. Pero consideraría justo uno del 3%.
  20. Una forma oculta de poner un corte es disminuir el número de diputados.
  21. Si hubiera 100 diputados solo habría habido 14 formaciones y el PP tendría 46 escaños.
  22. Si fueran 50 diputados, habría 9 y el PP tendría 23 escaños.
  23. Si fueran 400 diputados con un método Hare, habría 20. El PUM+J tendría un escaño.
  24. Hay razones para que el número de diputados sea grande. Razones de proporcionalidad, de pluralidad, de trincabilidad y de que, en fin, los diputados hacen un trabajo, legislar es complejo y pocos no hacen el trabajo de muchos.
  25. Si alguien propone una circunscripción nacional debería proponer un umbral de representación.
  26. Un umbral democráticamente impecable y ajustado a la realidad política del país sería el mismo que rige para la formación de grupo parlamentario: 5% de votos nacionales o 15% de votos en circunscripciones (virtuales: seguimos sabiendo qué es una provincia).
  27. Ignorar el umbral del 15% es ignorar cómo es España.
  28. Según ese modelo solo PP, PSOE, IU, CiU, PNV tendrían diputados.
  29. Cuando se promulgó las primera versión de la LOREG los políticos apenas sabían cómo se comportaría el electorado y la discusión (hablo de memoria) era más sistema mayoritario (Fraga) o proporcional (resto). Nadie planteó una circunscripción nacional y nadie arrimó el ascua a su sardina.
  30. Que no ocurra no significa que esté prohibido: el sistema electoral permite la existencia del partido nacionalista soriano. Con fuerza suficiente obtendría típicamente un escaño.
  31. El sistema electoral permite que un partido “nacional” tenga, digamos, 55 diputados.
  32. El sistema electoral permite que un partido “nacional” tenga 110 diputados.
  33. Incluso que un partido pase de tener 160 diputados a tener 10 diputados. ¡Qué cosas!
  34. El consenso de la LOREG fue grande: eramos todos castos y putos y nadie sabía como íbamos a votar.
  35. Cuando se conocen resultados todo el mundo arrima el ascua a su sardina y busca optimizar sus resultados.
  36. Hay un déficit democrático cuando un partido como UPyD queda fuera del parlamento por tener menos del 5% de los votos (o se queda sin grupo parlamentario porque tiene menos del 5% de los votos). El déficit es que ningún cargo de UPyD diga: “el pueblo no nos ha dado la confianza suficiente para tener un grupo parlamentario propio… a pesar de lo fantásticos e hiperenrollados que somos”.
  37. UPyD no es ni un partido significativamente nacional ni un partido significativamente regional.
  38. UPyD obtiene el 10% de los votos madrileños. Y obtiene el 3.7% de los votos que no son de madriz.
  39. Si se presentara solo en Madrid, UPyD no alcanza el 15% de los votos y si se presenta en toda España, no alcanza el 5%. It is that simple.
  40. La monserga de que en el Congreso se deciden los temas que afectan a todos los españoles y que por eso la circunscripción debería ser nacional produce risa cuando no descojone.
  41. La Cámara de Representantes americana ha declarado varias veces la guerra, alguna vez a España, otras a Alemania. Siempre con el granjero voto del representante de Iowa, o el de Montana. Dakota del Norte también elige representantes.
  42. Además, en el Congreso también se deciden temas locales. Muy locales.
  43. Por ejemplo, el Congreso puede otorgar Ceuta y Melilla a Marruecos. En una circunscripción nacional es poco probable que hubiera un diputado ceutí. Con la representación actual habría uno que, seguramente, daría un histórico y campanudo discurso que acabaría con algo así como “qué cabronada, qué cabronada”. Cuando no proclamar la independencia de Ceuta.
  44. Teruel existe.
  45. A veces parece que existen personas que creen que los representantes de Madrid podrían ser del FC Barcelona.
  46. La fascinación por el sistema de representación proporcional con todas sus inmensas sombras de métodos y cortes se parece a la fascinación hodierna por las encuestas. Queremos, sobre todo, un EGM o una encuesta, más que un representante.
  47. Con la distribución de votos actual que tiene UPyD solo puede disputar escaños en circunscripciones mayores de 10 escaños: Sevilla, Alicante, Valencia, Barcelona y Madrid.
  48. Obtiene escaños en Madrid (10% de votos), está lejos en Barcelona, obtiene escaño en Valencia (5.9%), está cerca de obtenerlo en Alicante y en Sevilla (con un 5.5% de votos).
  49. UPyD obtuvo en Barcelona el 1.3% de los votos. ¡Qué le vamos a hacer!
  50. De IU se podría decir otro tanto de lo mismo con dos diferencias favorables: mayor porcentaje de voto (tres puntos porcentuales típicamente; más cercano al 10% en muchas circunscripciones); presencia en Barcelona.
  51. Esos tres puntos le permite arañar escaños en Sevilla y Málaga (a los que no llega por poco UPyD).
  52. También abre circunscripciones más pequeñas como Asturias (8 escaños) y Zaragoza (7); inaccesibles para UPyD.
  53. Los resultados de IU y UPyD a votos constantes depende del resultado de PP y PSOE.
  54. A la inversa también. No solo se trata de qué porcentaje obtengas; también de qué porcentaje obtienen los demás.

Asturias de mis amores y de los dolores de los métodos de resto

En las entradas anteriores hemos visto algunas propiedades de la asignación d’Hondt. Solo levemente me he referido a un método de asignación por restos. El de Hamilton o Hare. Hoy les voy a hablar de él y de por qué no me gusta nada. Y no es un método extraño a nosotros, si no recuerdo mal es el método que se usa para asignar el número de escaños de una circunscripción en función de la población (descontados los dos diputados provincia, el de Ceuta y el de Melilla, todos de asignación obligatoria).

El problema que se plantea es que el número de votantes suele sobrepasar, en mucho, al número de escaños. Si en Asturias el voto hubieran acudido ocho votantes y hubieran votado 3-3-1-1 no habría que pensar mucho para asignar 8 escaños. Como no es así buscamos la forma de asignar números pequeños (escaños) cuando trabajamos con números muy grandes (votos).

Asi surge la idea de empaquetar votos y convertir miles de votos en unos pocos escaños. Al empaquetar los votos se usa una unidad de empaquetamiento que muchas veces se denomina quota.

Inicialmente la quota es la unidad y la suma del número de votos es mucho mayor que el total de escaños a asignar. En el otro extremo, si trabajamos una quota muy grande ocurre lo contrario. Por ejemplo si tomamos como quota el resultado del partido que más votos ha obtenido resulta que solo asignamos un escaño (al partido más votado que tendría un paquete) ya que el resto no llega a completar la quota (tendrían 0.xxx paquetes). Es una forma de describir el sistema mayoritario uninominal pero no sirve si tenemos que asignar varios escaños: en vez de tener más paquetes que escaños, tenemos más escaños por asignar que paquetes.

El método d’Hondt determina una quota extremal: el menor número entero tal que al dividir los votos por la quota, la suma de los resultados (paquetes enteros) de cada candidatura coincide con el total de escaños a repartir. Como es un método extremal ni es intuitivo ni es, probablemente, el primer algoritmo que se le ocurre a uno para solucionar el problema; pero tiene una gran fuerza teórica.

Los métodos de asignación por restos, singularmente el método de Hare o Hamilton, usan una estrategia diferente. En vez de buscar una quota que cumpla con las expectativas (como hace el d’Hondt) determinamos de forma intuitiva la quota (de hecho es un método más intuitivo, quizá lo primero que se le ocurriría a uno). La determinación standard es la siguiente: si tenemos un número total de votos y un número total de escaños, dividamos los votos totales por los escaños totales para obtener la quota y empaquetemos los votos con ella. Ignoro si en un caso real computa todos los votos o solo los votos de los partidos por encima de un cierto umbral. Hecha esta salvedad volvamos al caso asturiano en noviembre del 2011:

PSOE 183170 votos.
PP 222179 votos.
FAC 92549 votos.
IU 83312 votos.
UPyD 24583 votos.
Total 605794 votos.

Obviamente están descartados partidos menores que UPyD, supongo que no alteraría mucho el resultado. La quota Hare quedaría establecida como el cociente de 605794 entre 8, que resulta ser 75274 votos. Es la quota d’Hondt que se habría obtenido si todos los partidos se juntaran en una única candidatura en la famosa elección búlgara.

Si empaquetamos los votos con dicha quota se obtiene la siguiente gráfica:

Resultados de las elecciones de 20 de noviembre del 2011 en Asturias. A la derecha votos obtenidos, a la izquierda atribución de escaños. Los votos se muestran empaquetados en unidades de 75474 votos (quota Hare).

Esta gráfica ha de compararse con el empaquetamiento d’Hondt cuya quota es 61057 votos. Y en la comparación se observa que la quota Hare no asigna el total de escaños ya que contamos 2-2-1-1-0 paquetes y quedan dos escaños por asignar. No es sorprendente ya que la quota Hare es mayor que la quota d’Hondt, y como esta es la menor quota que asigna el total de escaños, la quota Hare puede dejar escaños por asignar. Ese es su gran pecado.

Para asignar los escaños restantes no se utiliza ningún algoritmo complejo; basta con ver las distancias de las barras al nivel superior y buscar las candidaturas con distancias menores. En este caso son PSOE y PP y la asignación queda 3-3-1-1 como en el caso d’Hondt. Esta última parte de la asignación es por “restos” y de ahí el nombre genérico del método. Restos quiere decir que el cociente de votos entre quota es 2.42-2.93-1.22-1.10-0.32 y si quitamos los escaños asignados resulta 0.42-0.93-0.22-0.10-0.32 por lo que los dos primeros partidos se llevan esos escaños extra.

Si hubiéramos utilizado el caso de Sevilla la asignación sí habría sido diferente: el PSOE habría perdido uno y UPyD tendría escaño. Como se ve en la gráfica la asignación directa es 5-4-1-1-0-0-0, y por los restos la barra del PP y la barra de UPyD quedan más cerca del nivel superior y obtienen un escaño: 5-5-1-1. Compárese con la gráfica d’Hondt.

Resultados de las elecciones de 20 de noviembre del 2011 en Asturias. A la derecha votos obtenidos, a la izquierda atribución de escaños. Los votos se muestran empaquetados en unidades de 86294 votos (quota Hare).

Incluso si la circunscripción hubiera elegido solo 10 escaños UPyD habría obtenido uno con asignación 4-4-1-1. ¿Buenas noticias? A ver, con 10 escaños a asignar UPyD consigue un escaño, tanto PSOE como PP obtienen cuatro escaño (proporción cuatro a uno). ¿Contentos? ¿Justo? ¿Equitativo? Me remito a las gráficas de los días anteriores: por cada votante de UPyD hay ¡¡7.5!! votantes del PSOE mientras que con dicha asignación por cada diputado de UPyD solo habría 4 del PSOE (o 5 en el caso de que hubieran sido 12 los diputados asignados).

La diferencia entre una y otra asignación tienden a cero cuando el número de escaños a asignar tiende a infinito. Sin embargo para pocos escaños; 10 escaños y menos, el tamaño típico de circunscripción en España las diferencias son sensibles.

Worse todavía aún más es el comportamiento del método Hare ante la agrupación de voto. No he encontrado (no he buscado) un ejemplo que muestre que la agrupación del voto resulta en una disminución de escaños pero sí he encontrado un ejemplo de lo contrariamente equivalente: cómo una disgregación del voto resulta en un aumento del número de escaños para los partidos disgregados (partidos disgregados que si se hubieran juntado habrían perdido un escaño).

El ejemplo es, otra vez, Asturias. Y ahora vamos a hacer que el PP se divida en el PP-Oriente y PP-Occidente. Que concurran a las elecciones separados y que obtenga exactamente la mitad de votos de los que obtuvo el PP. La quota no cambia y la gráfica sería esta:

Simulación de los resultados de las elecciones de 20 de noviembre del 2011 en Asturias dividendo el voto del PP en dos candidaturas diferentes iguales. A la derecha votos obtenidos, a la izquierda atribución de escaños. Los votos se muestran empaquetados en unidades de 75474 votos (quota Hare).

Como ven ahora tanto el PP-Oriente como el PP-Occidente están más cerca del siguiente escaño que el PSOE y a ellos van. La asignación sería 2-2-2-1-1 y el PP le ha birlado un escaño al PSOE.

Por supuesto en el caso de Sevilla tanto el PSOE como el PP podrían haber ido divididos y haberle birlado el escaño Hare a UPyD. Es un tipo de tejemaneje que con la quota Hare puede hacerse porque la quota Hare no es la más eficaz al no responder a un principio extremal: la menor quota que produce el efecto necesario.

Realmente no es que los partidos hubieran ido divididos sino que ante un sistema electoral que use el método Hare no hay ningún estimulo en formar grandes coaliciones y montarse un chiringuito diputadil es más fácil.

Imaginemos ahora la circunscripción de Soria que elige dos diputados y nos preguntamos por los votos que tenemos que sacar para obtener un diputado. La asignación d’Hondt da una respuesta: un tercio del total de votos más uno (TotalVotos/3 + 1). Así ningún otro partido puede tener más del doble de nuestros votos. Tendría 2TotalVotos/3 -1 que siempre es algo menos del doble que los nuestros. Y así es imposible que el otro partido tenga dos paquetes sin nosotros haber llegado a uno. En porcentaje esto es un 33.333%

¿Qué diría el método Hare? Estrictamente dice que te bastaría con un cuarto de los votos más uno (en porcentaje un 25%). Así, con un partido al 75% y el otro al 25% y una quota de 50(=100/2) tendríamos 1.25 paquetes para un partido y 0.25 para el otro. Con tener un votos más, el partido pequeño se llevaría el escaño.

Pero es una ilusión. Si el partido mayor hubiera concurrido dividido y hubiera dividido su voto por la mitad ese 75% se convertirían en dos mitades de 37.5% que son mayores que el 25% del partido pequeño, que no habría obtenido representación.

El partido pequeño tiene que luchar por el 33% para asegurarse de que el resto de votantes no puede hace esta maniobra. Es decir, tiene que calcular la quota d’Hondt.

El problema contrario, preguntarse por los votos necesarios para llevarse todo el bote de diputados, sí tiene respuesta, y diferente, para las dos asignaciones. En el método d’Hondt el partido mayor sabe que tiene que sacar el 66% de los votos para obtener dos escaños; mientras que si se utilizada el método Hare, debería sacar el 75% de los votos para obtener los dos escaños (y nada podría hacer el resto de votantes por impedirlo).

Son ejemplos de cómo un método (d’Hondt) merita la agrupación de voto y el otro (Hare, restos) merita la disgregación del voto.

¿Qué es mejor? Esto entra en el terreno de las opiniones personales, para mí la respuesta es obvia: la agregación. Hay típicamente 1 millón de electores ya están suficientemente disgregados con 1M de gustos diferentes. Lo razonable, en mi opinión, es meritar que 400k personas, por el motivo que sean, depositen la misma papeleta en la urna. Meritarlo supone darle el valor debido. Que si hay cuatro veces más votantes de X que de Y, la proporción de escaños sea esa.

Aunque si por opiniones personales se trata, cualquiera de los dos métodos de asignación es suficientemente (enormemente) complejo frente al mayoritario. Es fácil determinar el ganador de una competición por un escaño por muchos votos que haya. Frente a ello, decidir cómo se convierten números enteros muy grandes en números enteros pequeños (cómo repartir 10 escaños entre 1M votos) es complejo y oscuro.

Por qué UPyD no saca un escaño en Sevilla y quién tiene más votos perdidos

Andamos una tiempo animados en discutir las propiedades y efectos del sistema electoral. Hoy les voy a contar algo viejo y algo nuevo. Lo viejo espero mostralo de forma más gráfica: el increíble caso del diputado de UPyD por Sevilla y de cómo nos las ingeniaríamos para conseguirlo. O cómo funciona la ley d’Hondt.

Lo nuevo es el increíble caso de los votos perdidos perdidos. Sobre lo que también daré pruebas gráficas.

Por qué UPyD no saca un escaño en Sevilla

La circunscripción de Sevilla elegía 12 diputados en las pasadas elecciones del 20 de noviembre del 2011. Los resultados obtenidos por algunas candidaturas fueron:

PSOE 441657 votos, 6 escaños.
PP 409547 votos, 5 escaños.
IU 91368 votos, 1 escaño.
UPyD 58415 votos, 0 escaños.
PA 23272 votos, 0 escaños.
Equo 11275 votos, 0 escaños.

Si analizan con un poco de detalle los resultados comprobarían que el último escaño de los 12 asignados se lo ha llevado el PSOE. Al PSOE sus 441657 votos le han supuesto 6 escaños lo que quiere decir que gasta 73610 votos por escaños [esta es una cantidad que tiene sentido escribir en una circunscripción y que es una pequeña canallada cuando se hace sobre varias circunscripciones: por ejemplo el total nacional. Precisamente porque las circunscripciones son diferentes].

En el gráfico que muestro a continuación se observan los resultados de los partidos. En todos los gráficos que mostraré el eje de la derecha es el número de votos y es lo que realmente se representa: las barras son siempre el número de votos.

En el eje de la izquierda aparece, en este caso, el número de votos divido por esos 73610 votos por escaño que aceptamos, inicialmente, como coste del diputado.

Votos Sevilla 2011, ley dhondt
Resultados elecciones generales 2011, circunscripción de Sevilla. Se representa el número de votos (derecha). A la izquierda se divide el número de votos por 73610

Lo que observan en la imagen viendo el eje de la izquierda es que los votos del PSOE contienen exactamente seis veces el coste del escaño y por eso obtiene seis escaños (así es como he construido la gráfica). El PP contiene sobradamente 5 veces el coste y obtiene 5 escaños. IU contiene sobradamente el coste mientras que UPyD, PA y Equo no llegan a ese coste y no obtienen escaño. La gráfica muestra cómo funciona la ley d’Hondt: asigna escaños en funcion de paquetes (tantos paquetes tantos escaños) con una restricción fundamental que es el número de escaños a asignar (12). Cualquier otro número que alternativamente a 73610 hubiésemos elegido para representar el eje izquierdo solo produciría una de las siguientes situaciones:

  • Computaría menos escaños de los debidos en el eje izquierdo (cualquier número mayor de 73610 haría eso).
  • Computaría los mismos escaños que 73610 (cualquier número entre 73610 y 68257 haría eso).
  • Computaría más escaños de los debidos (cualquier número menor que 68257; empezaría asignando un sexto escaño al PP, sin alterar el resto).

Obvio como es esta tricotomía voy a mostrar un ejemplo del último caso.

El método de Hamilton es un método de restos que asignaría un escaño a UPyD y le quitaría un escaño al PSOE. En el ruido actual es un método “bueno” porque favorece a las “minorías” encontraste con el d’Hondt que favorece a las “mayorías”.

Asigando por este método, el coste del escaño bajaría ahora a los 58415 votos de UPyD. Y con esa unidad se construiría la siguiente gráfica (insisto en que se trata de los mismos datos, solo se cambian la etiquetación del eje izquierdo).

Sevilla elecciones 2011, asignacion escaño a UPyD
Resultados elecciones generales 2011, circunscripción de Sevilla. Se representa el número de votos (derecha). A la izquierda se divide el número de votos por 58415 (los votos de UPyD).

En la gráfica se observa ahora que UPyD contiene a la unidad de asignación y por tanto obtiene un escaño. PA y Equo siguen fuera. Con el resto de partidos obsevamos lo siguiente:
IU no llega a contener dos veces la unidad y se le asigna un escaño; mientras que PSOE y PP contienen más de siete veces a esa unidad. No hay razón para no asignar 7 escaños a estos partidos ya que si agrupáramos sus votantes en grupos (paquetes) de 58416 unidades obtendríamos 14 paquetes superiores a los 58415 votos de UPyD y aún nos sobrarían votantes del PSOE y del PP.

La razón por la cual no podemos hacer esto es obvia. La circunscripción solo elige 12 diputados y si estableciéramos una cuota de 58416 votos deberíamos asignar 16 diputados.

Mutatis mutandi, si la circunscripción hubiera elegido 16 diputados (cuatro más de los que realmente eligió) UPyD sí habría obtenido un escaño d’Hondt.

El increíble caso de los votos perdidos perdidos

Los votos perdidos perdidos son los votos perdidos de los que nunca oirá hablar. Cuántas veces ha oído por ahí que UPyD (entre otros) tiene miles de votos que se van por el desagüe a la puta mierda.

Como metáfora está bien traído pero no es menos cierto que ese tipo de votos están en todos los partidos. ¿Y quién tiene más? Les mostraré el ejemplo de Sevilla y se sorprenderán.

Si se fijan en la primera figura todos los votos del PP que están por encima del nivel 5 no valen para nada. Se van por el desagüe. Da igual que hubieran votado esos votantes como que hubieran votado cuarenta mil menos, el resultado habría sido igual.

El PSOE también tiene votos perdidos. No se observan en la primera gráfica porque el eje de la izquierda se ha normalizado al costo de escaño del PSOE. Pero existen. La razón es que si al PSOE el hubiera votado un ciudadano menos habría seguido obteniendo el último escaño. Y dos menos también. Incluso si se hubieran ido 32110 votantes de vacaciones habría seguido obteniendo el mismo resultado ya que tendría más votos que el PP. Por debajo de ese nivel, el PP le superaría en votos y la asginación inicial 6-5-1 pasaría a ser 5-6-1. Esto es así porque el problema se centra en un número impar de escaños: la circunscripción elige 12 y el escaño de IU es “seguro”. Entonces discutimos sobre los once restantes y se reparten 6-5 o 5-6 según qué partido obtiene más votos.

El análisis para el PP es algo más complejo de lo que reseñé antes. Si en la primera gráfica la barra del PP cayera por debajo de 5 no significaría automáticamente que pierde el quinto escaño (¿a dónde iría?). Lo que significaría es que último escaño asignado no es el sexto del PSOE sino el quinto del PP.

Si ahora el número de votantes sigue disminuyen la situación se mantiene: el último escaño es el quinto del PP y el coste de asignación de escaños va disminuyendo progresivamente. Mientras se mantenga esta situacíon la asignación 6-5-1 se mantiene.

¿Cuándo pierde el PP su quinto escaño? Incluso si 92000 votantes del PP se hubieran ido a la playa, el PP habría conservado ese escaño. Es decir si el PP hubiera obtenido sólo 317547 votos (y no 409547 votos) también habría sacado cinco escaños.

Entiendan bien 90000 votos tirados a la basura es mucho más que los 58000 votos tirados a la basura de UPyD sobre los que oyen hablar constantemente.

Este escenario se muestra en la última figura a la que se le ha añadido una barra nueva con los votos modificados del PP. Los datos reales del PP se muestran a efectos de comparación: la diferencia de altura entre votos reales y modificados representa los votos perdidos. Sin embargo, los datos reales del PP no entran en el cómputo de escaños.

Como se observa en la figura, en esta situación y con una asignación de escaños de 63509 votos el PSOE no llega a obtener el séptimo diputado. En ningún caso IU o UPyD están en condiciones de añadir un diputado.

Elecciones generales Sevilla 2011. Resultado del PP modificado
Resultados elecciones generales 2011, circunscripción de Sevilla. Se representa la situación si 90000 votantes del PP no hubieran acudido a las urnas (leyenda PP(mod) en la figura). Los datos reales del PP (leyenta PP en la figura) se muestran a efectos de comparación con los datos modificados pero no computan en la asignación de escaños. A la izquierda el número de votos se divide por el coste del escaño cifrado en 63509 escaños.